Antal reella lösningar

pq-formeln

I det förra avsnittet stötte vi vid kvadratkomplettering, likt är enstaka metod vilket vi är kapabel använda på grund av att åtgärda fullständiga andragradsekvationer. I detta här avsnittet ska oss gå igenom ytterligare ett metod till lösning från fullständiga andragradsekvationer, nämligen pq-formeln. Pq-formeln går att härledas med hjälp av kvadratkomplettering och existerar en många praktiskt användbar metod.

Som oss har sett tidigare förmå fullständiga andragradsekvationer skrivas vid formen

$$ax^{2}+bx+c=0$$

där a, b samt c existerar konstanter, samt a existerar skilt ifrån noll.

För för att kunna nyttja den teknik som oss introducerar inom det på denna plats avsnittet, den så kallade pq-formeln, behöver vi ursprunglig skriva ifall denna allmänna ekvation, sålunda att andragradsekvationen står vid formen

$$x^{2}+px+q=0$$

vilket oss gör genom att dividera samtliga begrepp i ekvationen med koefficienten a (om a besitter något annat värde än 1; ifall a = 1, således innebär detta att divisionen inte behöver utföras).

Detta existerar samma önskade form vilket vi stötte på inom avsnittet

För att ange antalet lösningar till en andragradsekvation kan man använda pq-formeln. Är diskriminanten större än noll är antalet lösningar två, är den noll har ekvationen en lösning och är den mindre än noll finns det inga reella lösningar. Vi undersöker diskriminanten. 1 pq formeln 2 Reella tal är de tal som man vanligtvis menar med tal. De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen. Denna linje brukar kallas den reella tallinjen. Mängden av alla reella tal betecknas vanligen ℝ eller R. 3 reella tal 4 Reella tal innefattar alla tal som kan skrivas på tallinjen. Detta är de naturliga talen, alla heltal, alla rationella tal samt alla tal som inte kan skrivas som ett bråk såsom pi. Inom matematiken brukar de reella talen betecknas med bokstaven R. Nedan ser du en förklarande bild på vad reella tal är. 5 Alla tal som går att pricka ut på en tallinje är reella tal. Då ingår positiva tal, negativa tal, heltal, bråktal som 3/4, pi, osv. Kort sagt, alla "vanliga" tal, eller det man brukar mena med just "tal". Det som *inte* ingår är komplexa / imaginära tal som - 1 (talet i). 0. #3. 6 Vi har tidigare försökt att hitta reella lösningar som är heltäckande. more_vert. Vi inser att det finns ett antal reella problem på den inre marknaden. 7 dubbelrot 8 Diskriminanten: uttrycket under rottecknet i pq-formeln, som avgör hur många reella lösningar vi får. 9 Antal lösningar till en andragradsekvation. 10

Andragradsekvationer

I ett tidigare avsnitt gick vi igenom polynom samt kom fram till för att ett polynoms gradtal bestäms av den variabelterm vilket har störst exponent. äger ett polynom gradtalet 2, så kallar vi detta ett andragradspolynom.

En ekvation vars ena led utgörs från ett andragradspolynom och vars andra led är lika med noll kallar oss en andragradsekvation. Det denna plats är ett mycket nödvändig typ från ekvation vilket förekommer inom många olika sammanhang samt därför bör vi ägna det på denna plats och efterföljande avsnitt åt att närmare undersöka just andragradsekvationer.

Andragradspolynom

Vi kunna allmänt nedteckna ett polynom av andra graden vid följande form:

$$ax^{2}+bx+c$$

där a, b och c är konstanter, och a ≠ 0 (om a = 0, så ägde ju x²-termen blivit lika med noll och då hade ej polynomet varit av grad 2 längre, alltså inget andragradspolynom; däremot får b och/eller c vara lika med noll).

Ett exempel vid ett andragradspolynom är

$$x^{2}+3x+1$$

där x² är den variabelterm liksom har störst exponent o

Reella lösningar

För för att se ifall en andragradsekvation har ett, två, alternativt inga reella lösningar således sätter man in ekvationen i pq-formeln, . Notera för att innan ni sätter in ekvationen inom pq-formeln måste ekvationen artikel skriven på normalform, x2 + px + q = 0 var p samt q existerar konstanter. Din ekvation besitter p-värdet 4 och q-värdet 6. detta enda lilla är för att du besitter ett annat tal a framför x2-termen (vi kunna tillfälligt kalla det på grund av a därför du ej blandar tillsammans p-värdet 4 med detta p:et framför x2-termen). Din ekvation är  inte skriven på normalform eftersom ni har en tal framför x2-termen (en koefficient), ax2 + 4x + 6 = 0. Den måste oss få försvunnen innan oss kan utföra insättningen inom pq-formeln. oss delar då båda leden med a samt får då . Nu är kapabel vi sätta in allt i pq-formeln och får då: . detta vi existerar intresserade från är till vilka värden på a blir allt vilket står beneath rottecknet (diskriminanten) negativt alltså mindre än noll. ni ska m

Reella tal samt lösningar

Här existerar en foto över talmängderna. Innerst besitter du naturliga tal (N), dvs positiva heltal samt noll. Lägger vi mot negativa heltal har oss alla heltal, Z. Lägger vi mot bråk vilket inte går jämnt upp, som 4/3, har oss rationella anförande, Q. dock tal liksom pi alternativt kan ej skrivas liksom ett bråk, de kallas irrationella anförande. Lägger oss till dem irrationella talen har oss R, samtliga reella anförande. De anförande som ej är reella har ett imaginärdel, samt lägger oss till dessa icke-reella anförande har oss de komplexa talen, C.

Ett tal är kapabel alltså tillhöra flera kategorier samtidigt, på grund av varje fingerprydnad innehåller även alla ringar inuti. sålunda talet 1 är en reellt anförande, men detta är även ett rationellt tal, en heltal samt ett naturligt tal (och även en komplext tal). 4/3 däremot tillhör ej gruppen heltal (och därför inte heller naturliga tal), men samtliga de andra.